Metallbaukasten
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Zum Inhalt größerer MÄRKLIN-Metallbaukästen gehörten seinerzeit eine spezielle
Spule sowie ein 8-segmentiger Kollektor mit Kohlebürstehalter zum Aufbau verschiedener Motormodelle und anderer
magnetischer Antriebe. Diese Spule war im Laufe der Zeit abhanden gekommen und als Neuteil war sie Ende der
1990er Jahre von MÄRKLIN nicht mehr erhältlich. Deshalb wurde beschlossen, eine solche Spule
zunächst selbst zu bauen.
An der fertiggestellten Spule wurden verschiedene Messungen durchgeführt - u. a. beträgt der ohm'sche Widerstand dieser immer noch existierenden Spule R = 10,3 Ω. Ebenso interessant erschien der Verlauf der Kraft auf den Eisenkern in Abhängigkeit seiner Position in der Spule, um evtl. einen optimalen Bereich des Stromflusswinkels ermitteln zu können. Das Problem war hierbei, dass zur direkten Messung der Kraft keine geeigneten Geräte zur Verfügung standen, wohl aber zur Messung von Induktivitäten. Deshalb wurde versucht, die Kraft über den Umweg der mechanischen und magnetischen Energie zu bestimmen unter Anwendung der Zusammenhänge Die zu ermittelnde Kraft - hier analog zu Hubkolbenmotoren als Kolbenkraft FK bezeichnet - ergibt sich daraus durch Gleichsetzung und Umstellung zu
Im Jahr 2022 wurde das Thema nochmal aufgegriffen und weitere Untersuchungen bzw. Berechnungen an der Spule durchgeführt. Hierbei wurden die Messwerte zunächst etwas "nachgeschärft" und anschließend in die Tabellenkalkulation Numbers (Apple) eingegeben, um eine analytische Handhabe zu bekommen.
Eine solche Spule wird häufig für den Bau sog. Axialmotoren verwendet. Bei diesen Motoren wird die oszillierende Bewegung des Eisenkerns - vergleichbar mit einer Dampfmaschine - mittels eines Exzenters (auch als Kurbeltrieb bezeichnet) in eine Rotation umgewandelt, Beispiele dazu siehe auch Zur Erläuterung der Geometrie eines Kurbeltriebs und der verwendeten Begriffe sei auf das Internet verwiesen, z. B. auf Wie man den Zeichnungen und Gleichungen ebenfalls entnehmen kann, sind die verwendeten Bezeichnungen der einzelnen Größen leider keineswegs einheitlich. Die Bezugsgröße bei einem Kurbeltrieb ist in der Regel der sog. Kurbelwinkel α. Auch die Position des Kolbens wird in Abhängigkeit des Kurbelwinkels angegeben, wobei der Kurbelwinkel 0° der Kolbenposition OT (oberer Totpunkt) und 180° der Kolbenposition UT (unterer Totpunkt) entspricht. Der Weg dazwischen wird als Kolbenweg sK und die Strecke zwischen OT und UT als Kolbenhub h bezeichnet. Der Kolbenhub wiederum ist doppelt so groß, wie der Kurbelradius r, und zusammen mit der Pleuelstangenlänge l ergibt sich das Pleuelstangenverhältnis λ = r/l. Der Kolbenweg sK folgt dem Kurbelwinkel α im Wesentlichen gemäß einer Cosinus-Funktion, welche vom Pleuelstangenverhältnis λ etwas "verbogen" wird. Wie den Literaturquellen zu entnehmen ist, lautet die zugehörige Gleichung welche für die Winkel α = 0° und α = 180° leicht überprüfbar ist.
Durch Multiplikation der Tangentialkraft mit dem Kurbelradius r ergibt sich schließlich das auf den Kurbeltrieb wirkende Drehmoment: Die in ein Rotationssystem eingebrachte Rotationsenergie errechnet sich allgemein aus dem Drehmoment und dem zurückgelegen Winkel α (im Bogenmaß) zu Da es sich um eine Funktion handelt, kann die Fläche jedoch nicht durch eine einfache Multiplikation berechnet werden, sondern erfordert eine mathematische Integration der Funktion des Drehmoments in Abhängigkeit des Kurbelwinkels α: Um die Drehmoment-Funktion analytisch integrieren zu können, muss sie zunächst ermittelt werden und auch das erfolgte in Form einer Polynom-Annäherung aus den bereits bekannten Gründen mit EXCEL. Im Diagramm unten links ist das Drehmoment M als Funktion des Kurbelwinkels α dargestellt - auch wieder für ein Pleuelstangenverhältnis von λ = 0,25. Es hat die gleiche Form, wie die Funktion der Tangentialkraft FT, weil lediglich mit dem Kurbelradius r = 12,7 mm multipliziert wurde. Die blaue Kurve zeigt den Verlauf, wie er aus den einzelnen Punkten berechnet wurde. Die rote Kurve stellt die Annäherung dar, welche ebenfalls aus einem Polynom 6. Grades besteht. Wie man sieht, gibt es zwischen beiden Kurven gewisse Abweichungen, aber genauer war die Annäherung mit der einfachen Trendlinien-Funktion in diesem Fall nicht möglich. Das Bild unten rechts zeigt das zugehörige Näherungspolynom - dieses Polynom ist zu integrieren ist, wenn die Fläche unter der Drehmoment-Funktion (Rotationsenergie) berechnet werden soll.
Die Integration eines solchen Polynoms ist relativ einfach, da die Summanden einzeln integriert werden können. Die Regel lautet: Das Ergebnis ist ein Polynom 7. Grades, in dem alle Potenzen von 1 bis 7 vertreten sind. Setzt man in dieses Polynom zunächst einen oberen X-Wert und in einer zweiten Berechnung einen unteren X-Wert ein und zieht die Ergebnisse voneinander ab, dann erhält man die Fläche unter der Drehmoment-Kurve innerhalb des oberen und unteren X-Wertes. Wichtig ist dabei, den X-Wert - in diesem Fall also den Kurbelwinkel α - als Bogenmaß einzusetzen. Andernfalls erhält man unsinnige Werte für die Rotationsenergie Wrot. Aus dem Verlauf des Drehmoments M in Abhängigkeit des Kurbelwinkels α und dem zugehörigen Näherungspolynom lassen sich verschiedene Erkenntnisse ableiten. Der maximale Stromflusswinkel kann bei einem solchen Axialmotor theoretisch 180° betragen und hierzu wären 4 der insgesamt 8 Kollektorsegmente zu verbinden - das ist trivial. Ein Stromflusswinkel von 180° ist allerdings aus mehreren Gründen nicht sinnvoll. Zum einen lässt das allgegenwärtige Spiel bei einer solchen Konstruktion keine ausreichend präzise Einstellung zu, was zu einer Beeinträchtigung der Funktion führen wird. Zum anderen tragen die kleinflächigen Randbereiche kaum noch zur Rotationsenergie bei, sodass ein Stromfluss in diesen Bereichen hauptsächlich der Erwärmung der Spule und somit der Reduzierung des Wirkungsgrades dient. In der Praxis werden deshalb meist 3 Kollektorsegmente (für 135° Stromflusswinkel) oder bei einem Motor mit mehreren Spulen evtl. nur 2 Kollektorsegmente (für 90° Stromflusswinkel) verbunden und diese beiden Fälle sollen nachfolgend etwas genauer betrachtet werden. Wie bereits oben erwähnt, lässt sich mit dem Integral der Drehmoment-Funktion die Fläche unterhalb der Kurve zwischen 2 vorgegebenen X-Werten (Grenzen) berechnen.
Des weiteren ist erkennbar, dass das Maximum des Drehmoments nicht in der Mitte der optimalen Bereiche liegt. Das bedeutet, dass bei einem Motor mit z. B. 4 Spulen, die mit einem einzigen Kollektor und folglich mit einem Stromflusswinkel von jeweils 90° gesteuert werden sollen, je nach Konstruktion u. U. nicht alle Spulen im optimalen Bereich betrieben werden können. Ob sich das in der Praxis bemerkbar macht, sei dahingestellt - in einem solchen Fall wird man der Einfachheit halber den Kollektor auf max. Drehzahl justieren. Man kann aber auch mit einem 2. Kollektor experimentieren oder evtl. auch einzelne Spulen verschieben, damit sie in einem günstigeren Bereich arbeiten. Ein Vergleich zwischen der Rotationsenergie und dem zugehörigen Spulenstrom ist ebenfalls möglich. Für einen Stromflusswinkel 135° wurde eine Rotationsenergie von 30,1 Nmm ermittelt und der zugehörige Stromfluss über 3 Kollektorsegmente sei zu 100% angenommen. Für einen Stromflusswinkel 90° beträgt die Rotationsenergie 26 Nmm und der zugehörige Stromfluss über 2 Kollektorsegmente beträgt dann ca. 67%. Einer Verringerung der Rotationsenergie um 14% steht somit eine Abnahme des Stroms um satte 33% gegenüber. Daraus resultiert ein höherer Wirkungsgrad bei 90° Stromflusswinkel, der den kleinflächigen Randbereichen zuzuschreiben ist, welche bei 135° Stromfluss nur unterproportional zur Rotationsenergie beitragen. Ein Vergleich mit einer längeren Pleuelstange - also einem kleineren λ-Wert - wird bei Gelegenheit nachgeliefert. Abschließend sei nochmal darauf hingewiesen, dass sich obige Betrachtung auf die seinerzeit selbstgebaute Spule bezieht. Messungen an anderen Spulen werden zu anderen Werten führen, das grundsätzliche Verhalten wird jedoch weitgehend erhalten bleiben. Reibungseffekte, Massenträgheitseffekte, Temperatureffekte und sonstige Störfaktoren wurden bei obiger Betrachtung nicht berücksichtigt. |
