Berechnung einer Lenkung mit Lenktrapez und einteiliger Spurstange

Verwendete Größen und Begriffe

	L	=	Achsabstand des Fahrzeugs
	B	=	Abstand der Drehpunkte der gelenkten Räder
	r	=	Länge der Spurstangenhebel
	l	=	Länge der Spurstange
	A	=	Abstand der Spurstange zur Vorderachse
	jT	=	Trapezwinkel zur Längsachse des Fahrzeugs bei Geradeaus-Stellung der Räder
	ja	=	Lenkwinkel des äußeren Rades zur Längsachse des Fahrzeugs
	ji	=	Lenkwinkel des inneren Rades zur Längsachse des Fahrzeugs
	jSa	=	Winkel des äußeren Spurstangenhebels zur Längsachse des Fahrzeugs
	jSi	=	Winkel des inneren Spurstangenhebels zur Längsachse des Fahrzeugs
	Pa	=	Befestigungspunkt der Spurstange am Spurstangenhebel des äußeren Rades mit den Koordinaten xa, ya
	Pi	=	Befestigungspunkt der Spurstange am Spurstangenhebel des inneren Rades mit den Koordinaten xi, yi

Theoretische Abhängigkeit der Lenkwinkel

Die theoretische Abhängigkeit der Lenkwinkel ergibt sich aus der Geometrie des gelenkten Fahrzeugs zu cot ja - cot ji = B/L = const.   (Gl. 1), wobei der Unterschied der Lenkwinkel beider Räder auch als Winkeldifferenz oder als Voreilwinkel bezeichnet wird. Zur Vollständigkeit sei erwähnt, dass es für die Berechnung unerheblich ist, ob sich das gelenkte Rad im oder auf einem Achsschenkel außerhalb des Drehpunkts befindet.

Lenkwinkel gelenkter Räder

Das Lenktrapez im Koordinatensystem

Das Lenktrapez im Koordinatensystem (1)

Um das Lenktrapez analytisch erfassen zu können, wird es in einem x-y-Koordinatensystem dargestellt. Zur Beschreibung des Trapezes ist es ausreichend, wenn drei Größen vorgegeben werden, z. B. der Abstand der Drehpunkte B, der Trapezwinkel bei Geradeaus-Stellung der Räder jT und die Länge der Spurstangenhebel r. Die für die Berechnung ebenfalls erforderliche Länge der Spurstange ergibt sich aus l = B-2r sinjT   (Gl. 2)

Des Weiteren ist zu beachten, dass mit der Länge der Spurstangenhebel r und dem Trapezwinkel bei Geradeaus-Stellung j_T auch der Abstand zwischen Spurstange und Vorderachse A vorgegeben wird:

A = r cosj_T   (Gl. 3)

Es ist erkennbar, dass die Enden der Spurstangenhebel auf Kreisbögen mit dem Abstand B verlaufen; willkürlich sei hier der linke Kreis dem äußeren Rad mit dem kleineren Lenkwinkel und der rechte Kreis dem inneren Rad mit dem größeren Lenkwinkel zugeordnet.
Die Funktionsgleichungen der Kreise lauten gemäß obiger Zuordnung:

r² = x² + y²   für den linken Kreis    (Gl. 4)

r² = (x-B)² + y²   für den rechten Kreis    (Gl. 5)
Zwischen den beiden Kreisen liegt die Spurstange der Länge l mit den Befestigungspunkten P_a und P_i, beschrieben durch die Koordinaten x_a, y_a und x_i, y_i.
Trennt man die Spurstange z. B. vom rechten Spurstangenhebel ab, so beschreibt dieses offene Ende der Spurstange ebenfalls einen Kreisbogen mit den Ursprungskoordinaten x_a, y_a auf dem linken Kreis.
Die Gleichung dieses Kreisbogens lautet

l² = (x-x_a)² + (y-y_a)²    (Gl. 6)

Für die Berechnung wird zuerst der Lenkwinkel des äußeren Rades in z. B. 5°-Schritten erhöht und die zugehörigen Koordinaten xa und ya ermittelt. Anschließend wird der Kreisbogen der einseitig gelösten Spurstange mit den Koordinaten xa und ya als Ursprung bestimmt. Der Schnittpunkt dieses Kreisbogens mit dem Kreisbogen des rechten Spurstangenhebels führt auf die Koordinaten xi und yi, aus denen sich der Lenkwinkel des inneren Rades errechnen lässt.

Das Lenktrapez im Koordinatensystem (2)

Mathematisch wird der Schnittpunkt beider Kreisbögen durch die Gleichsetzung derer Funktionsgleichungen bestimmt. Dazu werden Gl. 5 und Gl. 6 zunächst nach y umgestellt und anschließend gleichgesetzt; die hieraus resultierende quadratische Gleichung kann dann nach x aufgelöst werden.
Da die Berechnung umfangreich und umständlich ist, soll hier nur die letztendlich zu lösende quadratische Gleichung aufgezeigt werden:

x² + x (2y_a²B+(2r²-l²-B²) (x_a-B)) / (y_a²+(x_a-B)²) + ((2r²-l²-B²)²-4y_a² (r²-B²)) / (4y_a²+4(x_a-B)²) = 0    (Gl. 7)

Diese Gleichung enthält alle Vorgaben B, r und l sowie die zuvor errechneten Koordinaten x_a und y_a. Werden die entsprechenden Zahlenwerte eingesetzt, dann lässt sich die Gleichung durch Anwendung der Regeln zur Lösung quadratischer Gleichungen einfach nach x auflösen.
Durch Einsetzen des x-Wertes in die Gleichung für den rechten Kreis findet man den zugehörigen y-Wert.
Die errechneten Koordinaten x und y entsprechen den Koordinaten x_i und y_i, aus denen der Lenkwinkel des inneren Rades berechnet werden kann.
Um die Abhängigkeit der Lenkwinkel von unterschiedlichen Vorgaben zu untersuchen, bietet sich z. B. eine Berechnung mit EXCEL an.


Praktische Berechnung der Lenkwinkel mit dem Lenktrapez

Gegeben sei ein Modell mit den Maßen B = 25 cm und L = 100 cm (B/L = 0,25).
Gemäß der Regel, dass sich die verlängerten Spurstangenhebel bei Geradeaus-Stellung der Räder in der Mitte der Hinterachse schneiden sollen, ergibt sich daraus ein Trapezwinkel von

tan j_T = B/2L   bzw.    j_T = arctan B/2L = 7,125°.
Die Länge der Spurstangenhebel sei r = 5 cm, was einem Abstand zwischen Spurstange und Vorderachse von

A = r cosj_T = 4,961 cm
entspricht.

Das Ergebnis der Berechnung

Die mit EXCEL durchgeführte Berechnung liefert das nebenstehende Ergebnis. Neben der theoretischen Abhängigkeit der Lenkwinkel werden alle relevanten Größen dargestellt und der Fehler zwischen den theoretischen und praktisch erreichbaren Lenkwinkeln angegeben. Durch Variieren der Vorgaben kann das Lenktrapez für ein beliebiges Fahrzeug optimiert werden.

Zuerst wurde der Einfluss unterschiedlicher Trapezwinkel j_T untersucht und die Abweichungen von den theoretischen Werten in % aufgelistet:

ja in °	Abweichung vom theoretischen Winkel ji in %
	jT=7,125°	jT=8°	jT=9°	jT=10°	jT=11°	jT=12°	jT=13°	jT=14°
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45	0 -1,04 -2,04 -2,93 -3,64 -4,08 -4,12 -3,58 -2,20 +0,69	0 -0,88 -1,73 -2,45 -2,98 -3,19 -2,96 -2,05 -0,07 +4,01	0 -0,71 -1,36 -1,89 -2,19 -2,14 -1,55 -0,15 +2,66 +8,77	0 -0,53 -0,99 -1,31 -1,37 -1,03 -0,06 +1,93 +5,82 +15,60	0 -0,34 -0,61 -0,71 -0,52 -0,15 +1,55 +4,22 +9,57 -	0 -0,15 -0,21 -0,09 +0,38 +1,38 +3,28 +6,79 +14,26 -	0 +0,05 +0,20 +0,56 +1,31 +2,70 +5,16 +9,70 +20,67 -	0 +0,25 +0,62 +1,23 +2,29 +4,10 +7,20 +13,08 +32,64 -

Ein - in der Tabelle bedeutet hierbei, dass der zugehörige Lenkwinkel des inneren Rades j_i mit dem betrachteten Lenktrapez nicht realisierbar ist.

Eine anschaulichere Darstellung liefert ein grafischer Vergleich zwischen den Soll- und Ist-Werten der Winkeldifferenz in einem Diagramm:

jT=7,125°   r=5cm	jT=8°   r=5cm	jT=9°   r=5cm
jT=10°   r=5cm	jT=11°   r=5cm	jT=12°   r=5cm

Die Ergebnisse zeigen, dass ein Trapezwinkel von j_T = 7,125° nicht unbedingt die optimale Annäherung liefert. So ist die Abweichung bei einem Lenkwinkel von j_a = 44° zwar Null, bei einem Winkel von j_a = 30° ist sie dafür aber besonders hoch. Nicht ohne Grund wird in der Literatur besagte Regel als "Faustregel" oder "älteres Verfahren zur Auslegung des Lenktrapezes" bezeichnet und sie ist eigentlich nur für Fahrzeuge akzeptabel, bei denen es auf möglichst kleine Wendekreise ankommt (z. B. Baufahrzeuge).

Eine Optimierung für kleinere Lenkwinkel scheint sinnvoll, wenn man auf besonders große Lenkwinkel j_a > 30° verzichten kann. Ein Trapezwinkel zwischen 8° und 11° liefert dann eine deutlich bessere Annäherung an die theoretischen Werte. In diesem Fall liegt der gedachte Schnittpunkt der verlängerten Spurstangenhebel nicht auf, sondern vor der Hinterachse bei etwa 2/3 bis 3/4 des Achsabstandes L.


Im nächsten Schritt wurde untersucht, inwieweit unterschiedlich lange Spurstangenhebel - und damit unterschiedliche Abstände zwischen Vorderachse und Spurstange - das Ergebnis noch beeinflussen können. Als optimaler Trapezwinkel wurde gemäß obiger Tabelle hierfür j_T = 10° gewählt.

ja in °	Abweichung vom theoretischen Winkel ji in %
	r = 1 cm	r = 3 cm	r = 5 cm	r = 7 cm	r = 9 cm	r = 11 cm	r = 13 cm	r = 15 cm
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45	0 -0,62 -1,19 -1,63 -1,84 -1,71 -1,05 +0,38 +3,11 +8,48	0 -0,57 -1,09 -1,48 -1,62 -1,38 -0,58 +1,11 +4,33 +11,26	0 -0,53 -0,99 -1,31 -1,37 -1,03 -0,06 +1,93 +5,82 +15,60	0 -0,47 -0,88 -1,13 -1,12 -0,64 +0,53 +2,87 +7,68 -	0 -0,42 -0,77 -0,94 -0,82 -0,22 +1,18 +3,98 +10,16 -	0 -0,36 -0,64 -0,74 +0,51 +0,25 +1,92 +5,31 +13,87 -	0 -0,30 -0,51 -0,52 -0,17 +0,77 +2,77 +6,95 +22,23 -	0 -0,23 -0,36 -0,28 +0,20 +1,36 +3,75 +9,09 - -

Auch hierfür liefern die zugehörigen Diagramme eine bessere Übersicht:

jT=10°   r=1cm	jT=10°   r=3cm	jT=10°   r=5cm
jT=10°   r=7cm	jT=10°   r=9cm	jT=10°   r=11cm

Spurstangenhebel mit größerer Länge r wirken demnach ähnlich wie größere Trapezwinkel j_T, allerdings ist der Einfluss nicht so signifikant.
Da die Länge der Spurstangenhebel r oftmals nicht so flexibel gewählt werden kann, wird der wichtigere Parameter zur Optimierung des Lenktrapezes in den meisten Fällen aber der Trapezwinkel j_T sein.

Zur Durchführung eigener Experimente gibt es hier noch die EXCEL-Datei zur praktischen Berechnung

Hinweise auf evtl. Fehler oder weitere Berechnungsmöglichkeiten werden dankend entgegen genommen.

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